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構造輔助函數(shù)開題報告范文 第一篇

方法簡述：將所證明的表達式 \[\varphi \left( {f'\left( \xi \right),f\left( \xi \right),\xi } \right) = 0\] 看成是微分方程 \[\varphi \left( {f'\left( x \right),f\left( x \right),x} \right) = 0\] ，從中求解F（y,x）=0，然后忽略掉常數(shù)項，替換為F(f(x),x)就是我們要找的輔助函數(shù)了。

運用該方法，關鍵在于構造的微分方程比較容易求出f(x)。舉個例題，如下：

例3：已知f(x)連續(xù)，且f(a)=f(b)=0，求證在(a,b)上有一點 \[\xi \] 使得 \[\frac{{f'\left( \xi \right)}}{{ - 2\xi }} = f\left( \xi \right)\] 。

解析：先將式子進行整理為 \[f'\left( \xi \right) + 2\xi f\left( \xi \right) = 0\] ，那么這是一個很簡單的微分方程了 \[\frac{{dy}}{{dx}} + 2xy = 0\] 。學過微分方程的應該都會做，分離變量嘛。如下：

\[\begin{array}{l} \frac{1}{y}dy = - 2xdx\\ \int {\frac{1}{y}dy} = \int { - 2xdx} \\ \ln y = - {x^2} + C \end{array}\]

此時我們把常數(shù)當做0，就有 \[\ln y = - {x^2}\] ，也就是 \[y = {e^{ - {x^2}}}\] ，進一步得到 \[y{e^{{x^2}}}\] -1=0.那么我們忽略常數(shù)項，則 \[F(x) = f\left( x \right){e^{{x^2}}}\] 就是我們要找的輔助函數(shù)了。

非常容易驗證F(a)=F(b)=0，那么由羅爾定理就有 \[F'(\xi ) = f'\left( \xi \right){e^{{\xi ^2}}} + 2\xi {e^{{\xi ^2}}}f\left( \xi \right) = 0\] ，也就是 \[f'\left( \xi \right) + 2\xi f\left( \xi \right) = 0\] ，整理則題目得證。

構造輔助函數(shù)開題報告范文 第二篇

2）觀察題目中函數(shù)結構,象上面例題中出現(xiàn)過的構造輔助函數(shù)討論方程的根中,就是根據(jù)面積關系函數(shù)的結構,構造輔助函數(shù)的.構造合理的輔助函數(shù)才能使問題簡化,才能達到我們借助輔助函數(shù)解題的意義.

3）逆向思維 象中值定理的證明中,我們可以從要證明的想起,從結果中的隱性條件,結合已知函數(shù)結構構造輔助函數(shù),我們想要證明：

我們比較（1）和（2）,很明顯他們的結構有很多相似的地方.

【參考文獻】

［１］陳傳璋,等．數(shù)學分析（上、下冊）[M]．高等教育出版社,2001,1．

［２］湖南師范學院數(shù)學系分析教研組[M]．數(shù)學分析習題解答．

［３］趙顯曾,等．數(shù)學分析的方法與解題[M]．陜西師范大學出版社,2005,9．

［４］邵劍,等．大學數(shù)學考研專題復習[M]．浙江大學：科學出版社,2001,7．

［５］龔冬保,等．高等數(shù)學典型題解法、技巧、注釋[M]．西安交通大學出版社,1996．

［６］同濟大學數(shù)學教研室．高等數(shù)學上、下冊(第四版)[M]．北京：高等教育出版社,1996．

［７］李遠東,劉慶珍．高等數(shù)學的基本理論與方法[M]．重慶：重慶大學出版社,1995．

8 薛嘉慶．高等數(shù)學題庫精編[M]．沈陽：東北大學出版社,2000．

構造輔助函數(shù)開題報告范文 第三篇

上面兩種方法不是萬能，有時候總有更復雜的輔助函數(shù)構造起來很麻煩。根據(jù)經(jīng)驗，筆者之前整理了一個羅爾定理常用的輔助函數(shù)表格?，F(xiàn)在再放一下，如下：

怎么用呢？還是用一道例題來說明。

例4：f(x)與g(x)在(a,b)上可導，且有f(a)=f(b)=0，試證明在(a,b)上存在一點 \[\xi \] ，使得 \[f'\left( \xi \right) + f\left( \xi \right)g'\left( \xi \right) = 0\]

解析：首先微分方程法行不通，因為包含了f(x)和g(x)兩個函數(shù)，沒學過這樣的微分方程如何求。再看看用原函數(shù)法呢？如下：

\[\begin{array}{l} \int {f'\left( \xi \right) + f\left( \xi \right)g'\left( \xi \right)d\xi } \\ = f\left( \xi \right) + \int {f\left( \xi \right)} dg\left( \xi \right) \end{array}\]

也積不出什么函數(shù)出來。

這個時候我們可以使用上面的表格（其實表格不必死記硬背，經(jīng)?？纯从袀€印象就行）。我們對照下所證表達式，是不是跟第四行的原式那一列非常相像，從而所構造的輔助函數(shù)就為F(x)=f(x)*e^g(x)。

因此，我們構造函數(shù)F(x)=f(x)*e^g(x)，根據(jù)題目易得F(a)=F(b)=0，那么根據(jù)羅爾定理就有在(a,b)上存在一點 \[\xi \] 使得 \[F'\left( \xi \right) = 0\] ，即 \[f'\left( \xi \right){e^{g\left( \xi \right)}} + f\left( \xi \right){e^{g\left( \xi \right)}}g'\left( \xi \right) = 0\] ，我們約去 \[{e^{g\left( \xi \right)}}\] ，就得到 \[f'\left( \xi \right) + f\left( \xi \right)g'\left( \xi \right) = 0\] ，題目得證。

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特別說明：具體題目使用哪一種方法呢？沒有特別規(guī)定的情景，說不定一道題三種方法都行得通。但是這三種方法不是萬能的，題目無窮無盡啊，很難找到能夠適用于所有題目的方法。

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然而上面的方法雖然不是萬能的，但在做題時卻能給我們指明方向，帶來一些靈感。下面筆者就再舉一個例題來說明這種情況吧。

例5：函數(shù)f(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內二階可導，且過點A(0,f(0))與B(1,f(1))的直線與曲線y=f(x)相交于點C(c,f(c))，其中0\[\xi \] ，使得 \[f''\left( \xi \right) = 0\]

解析：這顯然是微分中值定理應用的證明題。直接給答案沒多大意義，筆者就專門分析下思路是怎么來的。

解法一：我們使用上面的原函數(shù)法來試一試。如下：

\[\begin{array}{l} \int {f''\left( \xi \right)} d\xi = f'\left( \xi \right) + C\\ \int {f'\left( \xi \right) + Cd\xi = f\left( \xi \right)} + C\xi + k \end{array}\]

那么我們可以發(fā)現(xiàn)所構造的輔助函數(shù)應該為 \[f(x) + cx + k\] 形式。也就是說雖然原函數(shù)法沒有給出我們具體的輔助函數(shù)是什么（因為c和k沒法求出），但是給出了我們構造輔助函數(shù)的方向，這是相當寶貴的！

好，那么我們的重點就應該看看 \[f(x) + cx + k\] 中的c和k要怎么來找出來。進一步觀察輔助函數(shù)形式，其實就為f(x)與一條直線的和，因為cx+k就是一條直線啊。那么就給我們一個啟示，往題目中的已知條件中來找尋這條直線。顯然題目暗示的已經(jīng)很明顯了，就是直線AB。

很容易就求出AB的表達式：y=[f(1)-f(0)]x+f(0)

那么我們所構造的輔助函數(shù)就是F(x)=f(x)-y=f(x)- [f(1)-f(0)]x-f(0)

有同學奇怪這么為什么將加號換成了減號呢？在此時的方法中筆者是根據(jù)經(jīng)驗來的，往往就是減號（但在同濟版高數(shù)教材拉格朗日定理證明中有另一番解釋，感興趣者可回看）。即使你在這里按部就班的構造成F(x)=f(x)+y，在下面的分析中會發(fā)現(xiàn)還是得回過頭將這里的加號改為減號。這里筆者為了篇幅，就直接根據(jù)經(jīng)驗來了。

好了，輔助函數(shù)找到了。經(jīng)驗告訴我們，題目讓證二階導數(shù)點為0，那么勢必要兩次運用羅爾定理。題目也給出了非常明確的暗示了，就是先在(0,c)上和(c,1)上先分別運用羅爾定理。那么就必須有F(0)=F(c)和F(c)=F(1)，也就是說必須有F(0)=F(c)=F(1)。那么到底有沒有呢？我們來驗證下。

很容易驗證F(0)=F(1)=0。

然而F(c)=f(c)- [f(1)-f(0)]c-f(0)卻一時半會判斷不出來是否為0。這個時候就有同學開始著急了，覺得是自己想錯方向了。別急，也別放棄。因為顯然題目中的已知條件你還沒用完啊。點C在直線AB上，這個條件你還沒用呢?。∮诌@個條件可得[f(1)-f(0)]c=f(c)-f(0)。代入F(c)的表達式，就有F(c)=0.

于是就有F(0)=F(c)=F(1)=0了。

那么我們首先在(0,c)上和(c,1)上各用一次羅爾定理，就有在（0,c）上存在 \[{\xi _1}\] 使得 \[f'\left( {{\xi _1}} \right) = 0\] ，同時在（c,1）上存在 \[{\xi _2}\] 使得 \[f'\left( {{\xi _2}} \right) = 0\] ，那么再在 \[\left( {{\xi _1},{\xi _2}} \right)\] 上運用羅爾定理，就得到在 \[\left( {{\xi _1},{\xi _2}} \right)\] 上有一點 \[\xi \]，使得 \[f''\left( \xi \right) = 0\] ，題目得證。

解法二：有的同學嫌兩次利用羅爾定理麻煩，而且如果不會用原函數(shù)法來尋找思路方向。那么沒關系。我們完全可以根據(jù)對題目的深入剖析來得到另一種較好的思路。

我們根據(jù)題目中對三點A、B、C的狀態(tài)描述，來嘗試畫出f(x)的大概草圖。會發(fā)現(xiàn)只能如下所示：

那么大家觀察這個圖，尤其是圖中三條平行的紅線直線，想到了什么？？熟悉拉格朗日中值定理的幾何意義的都會知道，這分明跟拉格朗日中值定理的幾何意義圖示一模一樣啊。

其實再仔細觀察思考下，拉格朗日中值定理的幾何意義是以A到B為長度來描述的，而且只是表述了存在一根紅線與AB平行。然而正如上圖所畫，實際上是存在兩根紅線與AB平行的。按照朗格朗日，一根紅線可以得到一個 \[\xi \] ，即根據(jù) \[\frac{{f(b) - f(a)}}{{b - a}} = f'(\xi )\] 得到。那么兩根紅線應該能得到兩個 \[\xi \] ，而且還是兩個不同的 \[\xi \] 。怎么得到呢？變通下，不再以AB為長度了，分別以AC和CB來做拉格朗日不就行了嘛。而且題目也暗示了很明顯了，擺明讓我們一C作為分段點來做。

因此我們按照方向，就分別有如下結果：

\[\frac{{f(c) - f(0)}}{{c - 0}} = f'({\xi _1})\]

\[\frac{{f(1) - f(c)}}{{1 - c}} = f'({\xi _2})\]

好了，題目讓證明二階導數(shù)點為0，顯然應該有 \[f'\left( {{\xi _1}} \right) = f'\left( {{\xi _2}} \right)\] 。那么他倆等于不等于呢？稍加思考就會發(fā)現(xiàn)鐵定等于啊。因為 \[\frac{{f(c) - f(0)}}{{c - 0}}\] 和 \[\frac{{f(1) - f(c)}}{{1 - c}}\] 表示的都是直線AB的斜率啊，肯定是相等的??！

于是問題已經(jīng)得到證明了。剩下的步驟我就不寫了。

說明：其實問題分析到這個地步，題目的意義已經(jīng)很明顯了，說白了，就是如果二階導數(shù)存在，拉格朗日中值定理中隱含了存在二階導數(shù)為0的點。而題目就是要我們證明這個隱含條件而已，本質上還是屬于拉格朗日中值定理的一部分。

構造輔助函數(shù)開題報告范文 第四篇

具體方法簡述：將要證明的式子整理為 \[\varphi \left( \xi \right) = 0\] （一般不包含分式），然后令 \[F'\left( \xi \right) = \varphi \left( \xi \right)\] ，對兩邊式子分別積分，則有 \[F\left( \xi \right) = \int {\varphi \left( \xi \right)} d\xi \] ，那么F(x)就是我們所求的輔助函數(shù)。

說白了，就是將所證明的表達式進行積分還原，如果能夠還原成功，那么成功找到的這個F(x)就是我們苦苦尋找的輔助函數(shù)。

還不懂？沒事，舉兩個例子。

例1：設f(x)、g(x)在[a,b]上連續(xù)，(a,b)內可導，且 \[g'(x) \ne 0\] ，證明：在（a,b）存在 \[\xi \] ，使得 \[\frac{{f\left( \xi \right) - f\left( a \right)}}{{g\left( b \right) - g\left( \xi \right)}} = \frac{{f'\left( \xi \right)}}{{g'\left( \xi \right)}}\] 。

解析：這是非常常見的一道題。估計即使做過了這道題，還有很多同學很迷惑，解答中的輔助函數(shù)到底是咋構建出來的。其實利用原函數(shù)法，很容易就找到這個輔助函數(shù)了。

首先先所證明的分式整理成易觀的式子，如下：

\[F'(\xi ) = g'(\xi )f(\xi ) + f'(\xi )g(\xi ) - f(a)g'(\xi ) - g(b)f'(\xi )\]

然后我們令：

\[F'(\xi ) = g'(\xi )f(\xi ) + f'(\xi )g(\xi ) - f(a)g'(\xi ) - g(b)f'(\xi )\]

好，對上式兩邊進行積分，如下：

\[\begin{array}{*{20}{l}} {F(\xi ) = \int {g'(\xi )f(\xi ) + f'(\xi )g(\xi ) - f(a)g'(\xi ) - g(b)f'(\xi )d\xi } }\\ { = \int {f\left( \xi \right)dg(\xi )} + \int {g(\xi )d} f\left( \xi \right) - f(a)g(\xi ) - g(b)f(\xi )}\\ { = f(\xi )g(\xi ) - \int {g\left( \xi \right)} df\left( \xi \right) + \int {g(\xi )d} f\left( \xi \right) - f(a)g(\xi ) - g(b)f(\xi )}\\ { = f(\xi )g(\xi ) - f(a)g(\xi ) - g(b)f(\xi )} \end{array}\]

所以我們要尋找的輔助函數(shù)就為：

\[F(x) = f(x)g(x) - f(a)g(x) - g(b)f(x)\]

很容易驗證：

\[F(a) = F(b) = - f(a)g(b)\]

于是根據(jù)羅爾定理，在(a,b)上存在一點 \[\xi \] ，使得 \[F'\left( \xi \right) = 0\] ，也就是：

\[g'(\xi )f(\xi ) + f'(\xi )g'(\xi ) - f(a)g'(\xi ) - g(b)f'(\xi ) = 0\]

整理便可得題目中的式子，因此原題得證。

注：原函數(shù)法特別適合所證式子中包含f(x)和g(x)兩個函數(shù)的情況。

例2：拉格朗日中值定理的證明。

解析：教材上給出了一種輔助函數(shù)的構造方法。其實我們利用原函數(shù)法完全可以找到另一種輔助函數(shù)。

分析式子 \[\frac{{f(b) - f(a)}}{{b - a}} = f'(\xi )\] ，整理為 \[f'(\xi ) - \frac{{f(b) - f(a)}}{{b - a}} = 0\] ，兩邊同時積分，得到 \[F(\xi ) = f(\xi ) - \frac{{f(b) - f(a)}}{{b - a}}\xi = 0\] 。因此 \[F(x) = f(x) - \frac{{f(b) - f(a)}}{{b - a}}x\] 就是我們要找的輔助函數(shù)。是不是跟教材上的那個不太一樣啊。沒關系，我們來驗證下。

非常容易驗證：

\[F(a) = F(b) = \frac{{bf(a) - af(b)}}{{b - a}}\]

因此滿足羅爾定理，拉格朗日得證。

構造輔助函數(shù)開題報告范文 第五篇

3）在證明含有兩個變量的不等式時,可以把其中的一個當作變量,而另一個當作常數(shù),使問題化為一個變量的函數(shù)不等式的證明.

我們再來看看下面例子：

例設b>,a>,e,證明ab>,ba.

分析：所給不等式為冪指數(shù)形式,可先兩邊取對數(shù)

由于b>,a>,e

所以ab>,ba等價于blna>,alnb

考察F（x）等于xlna-alnx

若x>,a>,e時,能推知F（x）單調增加,則命題得證.

證：令F（x）等于xlna-xlnb（x>,0）

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